ⓘ Free online encyclopedia. Did you know? page 349

אלגברה לא אסוציאטיבית

אלגברה לא אסוציאטיבית היא מבנה אלגברי המכליל אלגבראות אסוציאטיביות, בו לא נדרשת אקסיומת האסוציאטיביות. במילים אחרות, אלגברה לא אסוציאטיבית היא חוג לא אסוציאטיבי A {\displaystyle \ A} שבמרכזו חוג קומוטטיבי C {\displaystyle \ C}. אלגבראות אלו נקראו ...

אלגברה אלטרנטיבית

אלגברה אלטרנטיבית היא אלגברה לא אסוציאטיבית שאבריה מקיימים את האקסיומות x = y, x = y {\displaystyle x=y,\quad x=y}. כל אלגברה אסוציאטיבית, ממנה נדרשת האקסיומה החזקה יותר x = z {\displaystyle x=z}, היא גם אלטרנטיבית. כל אלגברה אלטרנטיבית היא אלגבר ...

אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית

באלגברה, אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית היא אלגברה לא אסוציאטיבית, שבה החזקות x n {\displaystyle x^{n}} מוגדרות היטב, ללא צורך בסוגריים; למשל x x) = {\displaystyle xx)=}, וכן הלאה. למחלקה זו שייכת המשפחה הרחבה של אלגברות זורדן לא קומוטטיביות, הכוללת ...

אלגברה ריבועית

במתמטיקה, אלגברה ריבועית היא אלגברה לא אסוציאטיבית A {\displaystyle A} שכל איבר שלה שייך להרחבה דו-ממדית של שדה הבסיס. הדוגמה הבולטת לאלגברה כזו היא אלגברת הרכב, כגון אלגברת קווטרניונים, ובפרט אלגברת המטריצות M 2 ⁡ {\displaystyle \operatorname {M ...

אלגברות קיילי-דיקסון

במתמטיקה, אלגברות קיילי-דיקסון הן האלגברות המתקבלות באמצעות בניית קיילי-דיקסון מן השדה של המספרים הממשיים. האלגברה הראשונה בסדרה היא שדה המספרים המרוכבים. אחר-כך מקבלים את אלגברת הקווטרניונים של המילטון ואת אלגברת האוקטוניונים. בהמשך הסדרה מתקבלו ...

אלגברת זורדן

אלגברת זורדן היא אלגברה לא אסוציאטיבית, שבה פעולת הכפל, שנסמן כאן ב- x ∙ y {\displaystyle \ x\bullet y}, מקיימת את שתי האקסיומות x ∙ y = y ∙ x {\displaystyle \ x\bullet y=y\bullet x} ו- ∙ = x ∙) {\displaystyle \ \bullet =x\bullet)}. בשפה של אופרט ...

אלגברת לי

במתמטיקה, אלגברת לי היא מבנה אלגברי אשר בין שימושיו העיקריים חקירת עצמים גאומטריים כגון חבורות לי ויריעות גזירות, כמו גם חבורות-p. זוהי הדוגמה החשובה ביותר לאלגברה לא אסוציאטיבית.

אלגברת מלצב

במתמטיקה, אלגברת מלצב היא אלגברה לא אסוציאטיבית, המתקבלת מאלגברה אלטרנטיבית באותו אופן שבו אפשר לקבל אלגברת לי מכל אלגברה אסוציאטיבית. לפיכך, כל אלגברת לי היא אלגברת מלצב, ואפשר להכליל מרכיבים משמעותיים בתורת המבנה של הסוג הראשון, אל המבנה הכללי ...

אסוציאטור

באלגברה, ה אסוציאטור הוא פונקציה בת שלושה מקומות, המוגדרת באלגברה לא אסוציאטיבית על-פי הנוסחה = c − a {\displaystyle \ =c-a}. בדומה לקומוטטור, המודד עד-כמה שני איברים רחוקים מלהתחלף, האסוציאטור מודד עד-כמה רחוקים שלושה איברים מלקיים את חוק האסוצי ...

בניית קיילי-דיקסון

במתמטיקה, בניית קיילי-דיקסון היא תהליך הבונה מאלגברה נתונה אלגברה חדשה, שממדה כפול. את הבניה תיאר באופן כללי לאונרד יוגין דיקסון, על-פי השיטה שבה השתמש ארתור קיילי כדי לבנות את אלגברת האוקטוניונים. התהליך פותח באלגברה לאו דווקא אסוציאטיבית עם אינ ...

הזהות הגמישה

באלגברה לא אסוציאטיבית, הזהות x = x {\displaystyle \ x=x} נקראת הזהות הגמישה. זהות זו משותפת למחלקות חשובות רבות של אלגברות לא אסוציאטיביות, לרבות אלגברות לי, אלגברות זורדן ואלגברות אלטרנטיביות. כל אלגברה קומוטטיבית או אנטי-קומוטטיבית מקיימת את ה ...

זהויות מופן

באלגברה וגאומטריה פרויקטיבית, זהויות מופן הן זהויות שיכול לקיים חוג לא אסוציאטיבי: הזהות השמאלית) y = x) {\displaystyle \)y=x)}, והזהות הימנית y x) = z) x {\displaystyle \ yx)=z)x}. זהויות אלו מופיעות באופן טבעי כשחוקרים את הפרמטריזציה של מישור פ ...

זוג זורדן

באלגברה, זוג זורדן הוא מבנה אלגברי המכליל את אלגברות זורדן. המערכת מוגדרת מעל שדה ממאפיין שאינו 2 או 3, וכוללת שני מרחבים וקטוריים, V +, V − {\displaystyle \ V^{+},V^{-}}, וזוג פעולות תלת-מקומיות טריליניאריות V ± × V ∓ × V ± → V ± {\displaystyle ...

ריבוע הקסם של פרוידנטל

ריבוע הקסם של פרוידנטל הוא תבנית המארגנת בניה אחידה של כמה אלגברות לי, חלקן ספורדיות. הריבוע נקרא על-שם הנס פרוידנטל שפיתח את הבניה במקביל לזאק טיץ. ריבוע הקסם מתאים לזוג אלגברות הרכב מעל הממשיים אלגברת לי, שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מוצג בריב ...

תחום אטומי

בתורת החוגים, תחום אטומי הוא תחום שלמות שבו כל איבר שונה מאפס ולא הפיך אפשר לכתוב כמכפלה של איברים אי-פריקים. זוהי תכונה שכיחה למדי, משום שכל תחום שלמות נותרי הוא אטומי.

חוג ארטיני

באלגברה, חוג ארטיני הוא חוג המקיים את "תנאי השרשרת היורדת" על אידיאלים שמאליים: לא קיימת שרשרת יורדת אינסופית. ⊂ L 2 ⊂ L 1 {\displaystyle \.\subset L_{2}\subset L_{1}} של אידיאלים שמאליים של החוג. התכונה נקראת על-שמו של אמיל ארטין, שראה בה דרך לה ...

חוג בזו

בתורת החוגים, חוג בזו הוא חוג קומוטטיבי R {\displaystyle R} המקיים את "תכונת בזו": כל אידיאל נוצר סופית הוא אידיאל ראשי. למעשה די להניח את התכונה עבור שני איברים: לכל שני איברים a, b {\displaystyle a,b} בחוג, קיים איבר d {\displaystyle d} כך ש- R ...

חוג דדקינד

במתמטיקה, ובעיקר באלגברה, תורת המספרים וגאומטריה אלגברית, חוג דדקינד הוא תחום שלמות נותרי נורמלי שבו כל אידיאל ראשוני שונה מאפס הוא מקסימלי. המבנה נקרא על שמו של ריכרד דדקינד. הדוגמה הבולטת לחוגי דדקינד היא אוסף המספרים השלמים בשדה מספרים, ומכאן ...

תחום הערכה (תורת החוגים)

בתורת החוגים, תחום הערכה הוא תחום שלמות המכיל, לכל איבר בשדה השברים שלו, את האיבר או את ההפכי שלו. חוגי הערכה הם המסגרת האלגברית לטיפול בהערכות של שדות.

חוג עם חילוק

במתמטיקה, חוג עם חילוק הוא חוג עם יחידה, שבו כל איבר שונה מאפס הוא הפיך. חוג קומוטטיבי עם חילוק אינו אלא שדה. הדוגמה הראשונה והמוכרת ביותר לחוג עם חילוק שאינו שדה היא אלגברת הקווטרניונים של המילטון. חוגים עם חילוק מופיעים באופן טבעי באלגברה האסוצ ...

חוג מקומי

בתורת החוגים, חוג מקומי הוא חוג שיש לו אידיאל מקסימלי יחיד. חוגים מקומיים נקראים כך משום שהם מאפשרים לחקור מרחבים באופן מקומי, בסביבת נקודה. אחד המקורות החשובים לחוגים כאלה הוא תהליך המיקום של חוג קומוטטיבי נתון ביחס לאידיאל ראשוני של אותו חוג. כ ...

חוג מקומי למחצה

בתורת החוגים, חוג מקומי למחצה הוא חוג R {\displaystyle R} כך שהמנה R / J {\displaystyle R/J} היא חוג פשוט למחצה ארטיני, כאשר J {\displaystyle J} הוא רדיקל גייקובסון. החוגים המקומיים-למחצה הקומוטטיביים הם אלו שיש להם מספר סופי של אידיאלים מקסימליים.

חוג פרימיטיבי

בתורת החוגים, חוג פרימיטיבי הוא חוג שיש לו מודול פשוט ונאמן. כתוצאה מכך, החוגים הפרימיטיביים הם תת-החוגים הצפופים בחוג אנדומורפיזמים של מרחב וקטורי מעל חוג עם חילוק. החוגים הפרימיטיביים הם אחת המחלקות המרכזיות בתורת החוגים הלא-קומוטטיביים, והיא כ ...

חוג פשוט

בתורת החוגים, חוג פשוט הוא חוג שאין לו אידיאלים לא טריוויאליים. בהיותם האובייקטים היסודיים בתורת המבנה, נודעת חשיבות רבה להכרת החוגים הפשוטים במחלקות שונות של חוגים. החוגים הפשוטים הקומוטטיביים אינם אלא שדות. החוגים הפשוטים הארטיניים הם, לפי משפט ...

חוג פשוט למחצה

בענף המתמטי העוסק בחוגים, חוג פשוט למחצה הוא חוג המהווה מודול פשוט למחצה כמודול מעל עצמו. תנאי זה סימטרי להחלפת ימין ושמאל. המבנה של חוגים פשוטים למחצה ארטיניים - ראו להלן ידוע מאז משפטי המבנה של גוזף ודרברן ואמיל ארטין, והם מהווים אבן פינה בתורת ...

אלגברה פשוטה מרכזית

אלגברה פשוטה מרכזית היא אלגברה פשוטה מממד סופי מעל המרכז שלה. האלגבראות הפשוטות הן אבני היסוד בתורת המבנה של אלגבראות, ומחקרן תורם להבנת המבנה הכללי של חוגים. לאובייקטים אלו מבנה עשיר, הקשור גם לתחומים אחרים במתמטיקה, כמו תורת הקוהומולוגיה של מבנ ...

חוג תורשתי

בתורת החוגים, חוג תורשתי הוא חוג שבו פרויקטיביות עוברת בתורשה ממודול לכל תת-מודול. לדוגמה, כל תחום דדקינד הוא תורשתי. בפרט, כל תחום ראשי ובמקרה הלא-קומוטטיבי, אף תחום שכל אידיאל שמאלי שלו הוא ראשי הוא תורשתי. לעומת זאת החוג F } של פולינומים בשני ...

תחום בזו

בתורת החוגים, תחום בֶּזוּ הוא תחום שלמות שהוא חוג בזו, כלומר, כל אידיאל נוצר סופית שלו הוא אידיאל ראשי. תחום שלמות הוא חוג ראשי אם ורק אם הוא חוג בזו נתרי. החוגים נקראים כך על-שם המתמטיקאי הצרפתי Étienne Bézout ‏. את ההגדרה אפשר לנסח גם כך: תחום ...

תחום ראשי

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה, תחום ראשי הוא תחום שלמות שכל האידיאלים שלו הם ראשיים. בתחומים ראשיים יש התאמה הדוקה בין אידיאלים לאיברים, ולכן קל יחסית לחשב בהם. תחומים ראשיים מקיימים תכונה של חוג המספרים השלמים שהיא מהותית לתורת המספרים האלמנטרית: לכ ...

אוקטוניונים

במתמטיקה, אלגברת האוקטוניונים היא אלגברת החילוק האלטרנטיבית היחידה מממד 8 מעל שדה המספרים הממשיים. אלגברה זו, שאינה אסוציאטיבית, היא אלגברת קיילי הידועה ביותר. מקובל לסמן את המבנה באות O {\displaystyle \mathbb {O} }. אלגברת האוקטוניונים קשורה למס ...

אלגברת הקווטרניונים של המילטון

במתמטיקה, אלגברת הקווטרניונים של המילטון, המסומנת H {\displaystyle \mathbb {H} }, היא מבנה אלגברי שאבריו הם מספרים מהצורה a + i b + j c + k d {\displaystyle \ a+ib+jc+kd} כאשר a, b, c, d {\displaystyle \ a,b,c,d} הם מספרים ממשיים, ו- i, j, k {\di ...

חוג השלמים האלגבריים

חוג השלמים האלגברים הוא חוג הכולל את כל המספרים האלגברים שהם פתרונות של פולינום מתוקן עם מקדמים שלמים. החוג הזה הוא תת-חוג של שדה המספרים האלגברים. חוג השלמים האלגבריים הוא תחום פרופר שאינו תחום דדקינד.

חבורה ציקלית

בתורת החבורות, חבורה ציקלית היא חבורה הנוצרת על ידי איבר אחד. כלומר כל אחד מאברי החבורה הוא חזקה של האיבר היוצר. כל חבורה כזו היא אבלית לפי כללי חזקות וחילופיות פעולת החיבור. חבורות ציקליות הן הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה, ולפי משפט המיון לחבורות א ...

חבורת קווטרניונים מוכללת

בתורת החבורות, חבורת קווטרניונים מוכללת היא חבורה שיש לה הצגה מהצורה ⟨ x, y | x n = y 2, y x y − 1 = x − 1 ⟩ {\displaystyle \ \langle x,y|x^{n}=y^{2},yxy^{-1}=x^{-1}\rangle } לשלם n כלשהו. זוהי חבורה מסדר 4 n {\displaystyle \ 4n}, שמקובל לסמן ב- ...

קריטריון קרטן

תהי L {\displaystyle L} תת-אלגברת לי של אלגברת האנדומורפיזמים g l V {\displaystyle glV} של מרחב וקטורי V {\displaystyle V} מממד סופי, מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס. אז L {\displaystyle L} פתירה אם ורק אם ∀ x ∈ L, y ∈:\operatorname {Tr} xy=0}.

חבורת באומסלג-סוליטר

חבורות באומסלג-סוליטר B S = ⟨ a, t | t a p t − 1 = a q ⟩ {\displaystyle BS=\langle a,t\,|\,ta^{p}t^{-1}=a^{q}\rangle } הן דוגמה חשובה למשפחה של חבורות בעלות יחס יחיד. זוהי הרחבת HNN של החבורה הציקלית האינסופית בעצמה. החבורה קובעת את הפרמטרים p,q ...

חבורת ארטין

חבורת ארטין היא חבורה מוצגת סופית בעלת יחסים מסוימים המערבים מכפלות חוזרות של שני יוצרים. חבורות מסוג זה מכלילות את חבורת הצמות, ולכל חבורת ארטין ניתן להתאים חבורת קוקסטר המתקבלת כמנה שלה, בהוספת היחסים ההופכים כל לאיבר מסדר 2. חבורות ארטין נחקרו ...

חבורת קוקסטר

בתורת החבורות, חבורת קוקסטר היא חבורה, בעלת הצגה פשוטה במיוחד, הכוללת הנחות רק על הסדר של היוצרים, שהוא 2, ועל הסדר של מכפלות של זוגות של יוצרים. מתברר שחבורות כאלה נוצרות על ידי שיקופים במרחב וקטורי, ובדרך זו הן מתקשרות לתחומים רבים ומרכזיים במת ...

ייצוג של חבורה

בתורת החבורות, ייצוג חבורה על ידי יוצרים ויחסים היא דרך הגדרה או אפיון של חבורה. בשיטה זו ישנה קבוצת יוצרים, המקיימים יחסים מסוימים. למשל, חבורה ציקלית סופית מסדר n {\displaystyle n} ניתן לייצג על ידי ⟨ a ∣ a n = 1 ⟩ {\displaystyle \langle a\mid ...

תת-מודול גדול

בתורת המודולים, תת-מודול גדול של מודול נתון הוא מודול החותך באופן לא טריוויאלי כל תת-מודול אחר. במקרה זה, המודול נקרא הרחבה גדולה של תת-המודול. המודול הוא בעל משלימים עקרונית אם לכל תת-מודול מתאים תת-מודול נוסף כך שסכומם הישר הוא מודול גדול. מודו ...

החלפה (תורת החוגים)

למודול A {\displaystyle A} יש תכונת ההחלפה הסופית אם בכל מקרה בו A {\displaystyle A} הוא מחובר ישר בסכום ישר M = M 1 ⊕ M 2 {\displaystyle M=M_{1}\oplus M_{2}}, יש פירוק M = A ⊕ M 1 ′ ⊕ M 2 ′ {\displaystyle M=A\oplus M_{1}\oplus M_{2}} שבו M 1 ′ ⊂ ...

מודול (מבנה אלגברי)

במתמטיקה, מודול הוא מבנה אלגברי הכולל חבורה אבלית, שעליה פועל חוג באמצעות כפל בסקלר, באותו אופן שבו שדה פועל על מרחב וקטורי. המודולים מהווים "מגרש משחקים" כללי ביותר, שבו יכול החוג לפעול ולהפגין את תכונותיו האלגבריות. משום כך מהווים מודולים כלי ע ...

מודול אי-פריד

במתמטיקה, מודול אי-פריד הוא מודול שאינו מתפרק לסכום ישר של שני תת-מודולים. מודולים אלה הם אבני היסוד של תורת ההצגות של אלגברות. כל מודול ארטיני או נתרי הוא סכום ישר של מספר סופי של מודולים אי-פרידים. מודול בעל אורך סופי אפשר לפרק לסכום ישר של מוד ...

מודול ארטיני

באלגברה מופשטת, מודול ארטיני הוא מודול M {\displaystyle M} המקיים את תנאי השרשרת היורדת על תת-המודולים שלו, ביחס לסדר ההכלה. התכונה נקראת על שם אמיל ארטין.

מודול יוצר

באלגברה, מודול יוצר הוא מודול בו סכומי פונקציונלים מהמרחב הדואלי יוצרים את כל חוג הבסיס. מודול פרו-יוצר הוא מודל יוצר, פרויקטיבי ונוצר סופית. למודולים המקיימים תכונות אלו תפקיד מבני בתורת המודולים, והם מהווים עזר באפיון מושגים שונים באלגברה: בעזר ...

מודול נאמן

בתורת החוגים, מודול נאמן הוא מודול מעל חוג R {\displaystyle R}, שהמאפס שלו A n = { r ∈ R: r M = 0 } {\displaystyle Ann=\{r\in R:rM=0\}} טריוויאלי. אם M {\displaystyle M} מודול מעל חוג מנה R / I {\displaystyle R/I}, אז הוא גם מודול מעל R {\display ...

מודול נתרי

באלגברה מופשטת, מודול נתרי הוא מודול M {\displaystyle M} המקיים את תנאי השרשרת העולה על הסדר החלקי של יחס ההכלה על תת-המודולים שלו. תנאי זה שקול להגדרות הבאות לנתריות של מודול M {\displaystyle M}: בכל תת-קבוצה לא ריקה של תת-מודולים של M {\display ...

מודול ציקלי

בתורת המודולים, מודול ציקלי הוא מודול הנוצר סופית על ידי איבר אחד. למודולים ציקליים תפקיד חשוב בתורות המודולים, בעיקר בתכונות של מודולים מעל תחום ראשי וכן במשפטי פירוק לגורמים מעל תחומים אלו.

תשתית (אלגברה)

באלגברה מופשטת ובפרט בתורת המודולים, ה תשתית של מודול הוא סכום כל תתי המודולים הפשוטים שלו. מודול פשוט למחצה הוא מודול השווה לתשתית שלו, ו חוג פשוט למחצה הוא חוג פשוט למחצה כמודול מעל עצמו. יהי M {\displaystyle M} מודול מעל חוג R {\displaystyle R ...

תחום פרופר

באלגברה קומוטטיבית, תחום פרופר הוא תחום שלמות, שבו כל אידיאל נוצר סופית הוא אידיאל הפיך. תחומים אלה מהווים אחת ההכללות החשובות ביותר של תחום דדקינד, תוך ויתור על הנחת הנותריות. תחומי פרופר הם תחומי השלמות שהם תורשתיים למחצה. את החוגים האלו החל לל ...